简谐振动方程推导过程,简谐振动方程的推导过程

3.4 阻尼振动

如果在弹簧振子上加一个正比于速度的阻力f=2βmv,运动方程就是:

简谐振动方程推导过程,简谐振动方程的推导过程

这就是阻尼振动的微分方程。一阶项的常量上有一个2是为了方便。大小恒定方向可变的摩擦力在数学上很难处理,但是正比于速度的阻力比较容易处理。

仍然猜,用刚才的方法得到。这个方程的解根据 的正负要分三种情况讨论:

β 比较小时,?>0,。根据解的线性叠加可以得到:

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这种情况叫作欠阻尼,小球会来回振荡,振幅呈指数衰减,如图3.1。

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图3.1:欠阻尼时的运动

β比较大时,?<0,。根据解的线性叠加可以得到:

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这种情况叫作过阻尼,小球的运动是两个指数衰减的叠加,而习近平和B要求都是实数。

β刚好不大不小时,?=0,ω=iβ,这种情况叫作临界阻尼。奇怪的事情出现了:二阶微分方程的通解必须有两个待定的常量,现在ω只有一个解,怎么办?

我们要把猜解的形式换一下:,代入微分方程,经过一坨求导和合并同类项得到 ,所以我们猜出来的这个解确实满足原方程,而且只有在临界阻尼 的情况下才能这么猜解。到这里为止这个方程就解完了。

如果β=0,那么欠阻尼和过阻尼的运动都会变成简谐振动,而临界阻尼的运动会变成匀速直线运动。

要注意的是,指数衰减不能严格达到零,实际操作中一般认为小于一个很小的数(比如初始位移的 1%)就算运动停止,而且实际上的阻力也不严格与速度成正比。

【练习】自己把这个方程解一遍,如果能解出来那么之前的东西应该都懂了。

............试读结束............

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